Tartalomjegyzék
- Mi a fekete Scholes modell?
- A BSM modell alapjai
- A fekete Scholes képlet
- Mit mond a modell?
- korlátozások
Mi a fekete Scholes modell?
A Black Scholes modell, más néven Black-Scholes-Merton (BSM) modell, matematikai modell az opciós szerződés árazásához. Különösen a modell becsli meg a pénzügyi instrumentumok, például a készletek időbeli változásait, és az alapul szolgáló eszköz implikált volatilitásának felhasználásával kiszámítja a vételi opció árát.
Kulcs elvihető
- A Black-Scholes Merton (BSM) modell egy differenciálegyenlet, amelyet az opciók árainak megoldására használnak.A modell megnyerte a Nobel-díjat a közgazdaságtanban. A standard BSM modellt csak az európai opciók áraira használják, és nem veszi figyelembe, hogy az USA opciói a lejárati idő előtt kell gyakorolni.
A fekete Scholes modell alapjai
A modell feltételezi, hogy a nagymértékben kereskedett eszközök ára geometriai Brown-mozgást követ, állandó sodródással és volatilitással. Egy részvényopcióra történő alkalmazás esetén a modell magában foglalja a részvény állandó árváltozását, a pénz időértékét, az opció lehívási árát és az opció lejáratához szükséges időt.
Fekete-Scholes-Merton néven is ez volt az első széles körben használt modell az opciók árazásához. Az opciók elméleti értékének kiszámításához használják a jelenlegi részvényárak, a várható osztalékok, az opció sztrájk ára, a várható kamatlábak, a lejárathoz szükséges idő és a várható volatilitás alapján.
Három közgazdász - Fischer Black, Myron Scholes és Robert Merton - által kidolgozott formula talán a világ legismertebb opciós árazási modellje. Ezt bevezették az 1973-as, "Opciók és vállalati kötelezettségek árazása" című cikkükben, amelyet a Political Economy Journal publikált. Black két évvel ezelőtt elhunyt, mielőtt Scholes és Merton megkapta az 1997. évi Nobel-közgazdasági díjat azért, hogy munkájuk során új módszert találtak a származékok értékének meghatározására (a Nobel-díjat nem poszthumálisan adják ki; a Nobel bizottság azonban elismerte Black szerepét a Black-Scholes modell).
A Black-Scholes modell bizonyos feltételezéseket tesz:
- Az opció európai és csak lejárattal gyakorolható. Az opció élettartama alatt nem fizetnek osztalékot.A piacok hatékonyak (azaz a piaci mozgások nem jósolhatók meg.) Az opció megvásárlásához nincsenek tranzakciós költségek.A kockázat- Az alap kamatlába és volatilitása ismert és állandó. A mögöttes eszközök hozama általában eloszlik.
Noha az eredeti Black-Scholes modell nem vette figyelembe az opció élettartama alatt fizetett osztalékok hatásait, a modellt gyakran adaptálják az osztalékok elszámolására az alapul szolgáló részvény ex-osztalékának értékének meghatározásával.
A fekete Scholes képlet
A képletben részt vevő matematika bonyolult és félelmetes lehet. Szerencsére nem kell tudnia vagy megértnie a matematikát, hogy a Black-Scholes modellezést saját stratégiáiban felhasználhassa. Az opciós kereskedők számos online opciós kalkulátorhoz férhetnek hozzá, és a mai kereskedési platformok nagy része robusztus opcióelemző eszközökkel büszkélkedhet, ideértve a mutatókat és a táblázatokat is, amelyek elvégzik a számításokat és kiadják az opciók árazási értékeit.
A Black Scholes vételi opció képletét úgy számítják ki, hogy a részvényárát megszorozzuk a kumulatív normál normál valószínűség-eloszlási függvénnyel. Ezt követően a sztrájk ár nettó jelenértékét (NPV) szorozva a kumulatív normál eloszlással, levonják az előző számítás eredményéből.
Matematikai jelölésben:
C = St N (d1) −Ke − rtN (d2), ahol: d1 = σs t lnKSt + (r + 2σv2) t andd2 = d1 −σs t ahol: C = vételi opció árS = aktuális részvény (vagy egyéb alapul szolgáló) árK = sztrájkjelő = kockázatmentes kamatláb = lejárati időN = normál eloszlás
Black-Scholes modell
Mit mond neked a fekete Scholes modell?
A Black Scholes modell a modern pénzügyi elmélet egyik legfontosabb fogalma. Ezt 1973-ban fejlesztették ki Fischer Black, Robert Merton és Myron Scholes, és ma is széles körben használják. Ez az opciók méltányos árainak meghatározásának egyik legjobb módja. A Black Scholes modell öt bemeneti változót igényel: egy opció bevezetési árát, a jelenlegi részvényárfolyamot, a lejárathoz szükséges időt, a kockázatmentes kamatlábat és a volatilitást.
A modell feltételezi, hogy a részvényárak lognormális eloszlást követnek, mivel az eszközárak nem lehetnek negatívak (nullával határozzák meg). Ezt Gauss-eloszlásnak is nevezik. Az eszközárakban gyakran megfigyelték, hogy szignifikáns helyes ferde és bizonyos fokú kurtózis (zsíros farok). Ez azt jelenti, hogy a magas kockázatú lefelé irányuló lépések gyakran gyakrabban fordulnak elő a piacon, mint ahogy azt a szokásos disztribúció előrejelzi.
A mögöttes eszközárak lognormal feltételezésének tehát meg kell mutatnia, hogy a Black-Scholes modell szerint az implikált volatilitások minden sztrájkárhoz hasonlóak. Az 1987-es piaci összeomlás óta azonban a monetáris opciók feltételezett volatilitása alacsonyabb volt, mint a pénzből távol lévő vagy a pénzben nagyon távol eső volatilitások. Ennek a jelenségnek az az oka, hogy a piac az árképzést valószínűsíti, ha a nagy volatilitás a piacok lefelé mutató irányába halad.
Ez a volatilitási ferde jelenlétéhez vezetett. Ha az azonos lejárati dátummal rendelkező opciók implikált volatilitásait ábrázolja egy grafikonon, akkor mosoly vagy ferde alak látható. Így a Black-Scholes modell nem hatékony az implikált volatilitás kiszámításához.
A fekete Scholes modell korlátozásai
Mint korábban kifejtettük, a Black Scholes modellt csak az európai opciók áraira használják, és nem veszi figyelembe, hogy az amerikai opciók a lejárati idõ elõtt gyakorolhatók lennének. Sőt, a modell feltételezi, hogy az osztalékok és a kockázatmentes kamatlábak állandóak, de ez valójában nem igaz. A modell azt is feltételezi, hogy a volatilitás állandó marad az opció élettartama alatt, ez nem így van, mivel a volatilitás ingadozik a kínálat és a kereslet szintjével.
Ezenkívül a modell feltételezi, hogy nincsenek tranzakciós költségek vagy adók; a kockázatmentes kamatláb állandó minden lejáratra; megengedett az értékpapírok bevétel felhasználásával történő rövid eladása; és hogy nincsenek kockázatmentes arbitrázs lehetőségek. Ezek a feltételezések olyan árakat eredményezhetnek, amelyek eltérnek a valós világtól, ahol ezek a tényezők vannak jelen.
Fekete, Scholes, Merton. © KhanAcademy
