Folyamatos összetett kamat

Az összetett kamat az eredeti tőkére és a betét vagy kölcsön korábbi időszakaira felhalmozott kamatra kiszámított kamat. Az összetett kamat hatása a gyakoriságtól függ.

Tegyük fel, hogy az éves kamatláb 12%. Ha az évet 100 dollárral kezdjük, és csak egyszer adjuk össze, akkor az év végén a tőke összege 112 dollárra nő (100 dollár x 1, 12 = 112 dollár). Ha ehelyett havonta 1% -ot számolunk el, akkor az év végén 112 dollárnál többet fizetünk. Vagyis 100 USD x 1, 01 ^ 12 dollár 112, 68 USD-nél. (Ez magasabb, mert gyakrabban foglalkozunk.)

A folyamatosan összekeverve a leggyakoribb vegyület adódik. A folyamatos keverés a matematikai határ, amelyet az összetett kamat elérhet. Ez az összeállítás szélsőséges esete, mivel a legtöbb érdeklődés havi, negyedéves vagy féléves alapon történik.

Féléves megtérülési ráták

Először vessünk egy pillantást egy esetlegesen zavaró konvencióra. A kötvénypiacon kötvény-egyenértékű hozamra (vagy kötvény-egyenérték alapra) hivatkozunk. Ez azt jelenti, hogy ha egy kötvény féléves hozammal rendelkezik 6% -kal, akkor kötvény-ekvivalens hozama 12%.

Kép: Julie Bang © Investopedia 2019

A féléves hozam egyszerűen megduplázódik. Ez potenciálisan zavaró lehet, mert a 12% -os kötési egyenértékű hozamkötvény tényleges hozama 12, 36% (azaz 1, 06 ^ 2 = 1, 1236). A féléves hozam megduplázása csak egy kötvény elnevezési konvenció. Ezért, ha egy féléves összevont 8% -os kötvényről olvasunk, akkor feltételezzük, hogy ez egy 4% -os féléves hozamra utal.

Negyedéves, havi és napi megtérülési ráták

Most tárgyaljuk a magasabb frekvenciákat. Még mindig feltételezzük a 12% -os éves piaci kamatlábat. A kötvény elnevezési konvenciók szerint ez 6% -os féléves kamatlábat jelent. Most kifejezhetjük a negyedéves összetett kamatlábat a piaci kamatláb függvényében.

Kép: Julie Bang © Investopedia 2019

Az éves piaci kamatlábat ( r) figyelembe véve a negyedéves összetett kamatlábat ( r _q) a következő adja meg:

$\begin{matrix} r_{q} = 4 \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} & r_q = 4 \ balra \\ \ vége {igazítva}$ RQ = 4

Tehát például a példánkban, ahol az éves piaci kamatláb 12%, a negyedéves összetett kamatláb 11, 825%:

$\begin{matrix} r_{q} = 4 ≅ 11.825 % \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} & r_q = 4 \ balra \ cong 11.825 \% \\ \ vége {igazítva}$ RQ = 4≅11.825%

Kép: Julie Bang © Investopedia 2019

Hasonló logika vonatkozik a havi összeállításra is. A havi összetett kamatlábat ( r _m ) itt az éves piaci kamatláb ( r) függvényében adjuk meg :

A napi összetett kamatlábat ( d) a piaci kamatláb ( r) függvényében adja meg:

$\begin{matrix} r_{d} & = 360 \\ = 360 \\ ≅ 11.66 % \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} r_d & = 360 \ balra \\ & = 360 \ balra \\ & \ cong 11, 66 \% \\ \ vége {igazítva}$ rd = 360 = 360≅11.66%

Hogyan működik a folyamatos keverés?

Kép: Julie Bang © Investopedia 2019

Ha növeljük a vegyület frekvenciáját a határig, akkor folyamatosan keverjük. Noha ez nem gyakorlati, a folyamatosan összekapcsolt kamatláb csodálatosan kényelmes tulajdonságokat kínál. Kiderült, hogy a folyamatosan összekapcsolt kamatlábat a következők adják:

$\begin{matrix} r_{c o n t én n u o u s} = \ln (1 + r) \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} és r_ {folyamatos} = \ ln (1 + r) \ \ vége {igazítva}$ rcontinuous = ln (1 + r)

Ln () a természetes log, és példánkban tehát a folyamatosan összetett sebesség:

$\begin{matrix} r_{c o n t én n u o u s} = \ln (1 + 0.12) = \ln (1.12) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} és r_ {folyamatos} = \ ln (1 + 0, 12) = \ ln (1, 12) cong 11, 33 \% \\ \ vége {igazítva}$ rcontinuous = ln (1 + 0, 12) = ln (1, 12) ≅11.33%

Ugyanazon a helyre jutunk, ha figyelembe vesszük ennek az aránynak a természetes naplóját: a végső értéket osztva a kiindulási értékkel.

$\begin{matrix} r_{c o n t én n u o u s} = \ln (\frac{{Érték}_{vég}}{{Érték}_{Rajt}}) = \ln (\frac{112}{100}) ≅ 11.33 % \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} & r_ {folyamatos} = \ ln \ balra ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ balra ( frac {112} {100} jobbra) cong 11.33 \% \\ \ vége {igazítva}$ rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln (100.112) ≅11.33%

Ez utóbbi általános, ha a készlet folyamatosan összetett hozama kiszámításra kerül. Például, ha az állomány egy nap 10 dollárról ugrik a következő nap 11 dollárra, akkor a folyamatosan összetett napi hozamot a következő adja meg:

$\begin{matrix} r_{c o n t én n u o u s} = \ln (\frac{{Érték}_{vég}}{{Érték}_{Rajt}}) = \ln (\frac{$ 11}{$ 10}) ≅ 9.53 % \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} & r_ {folyamatos} = \ ln \ balra ( frac { text {Value} _ \ text {End}} { text {Value} _ \ text {Start}} right) = \ ln \ balra ( frac { $ 11} { $ 10} jobbra) cong 9.53 \% \\ \ vége {igazítva}$ rcontinuous = ln (ValueStart ValueEnd) = ln ($ 10 $ 11) ≅9.53%

Mi olyan nagy a folyamatosan összetett ráta (vagy visszatérés) vonatkozásában, amelyet r _c-vel jelölünk? Először is könnyű előremozgatni. Mivel a (P) tőkéjét meghatározzuk, az (n) évenkénti végső vagyonunkat a következő adja meg:

$\begin{matrix} w = P e^{r_{c} n} \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} & w = Pe ^ {r_c n} \ \ vége {igazítva}$ w = Perc n

Vegye figyelembe, hogy e az exponenciális függvény. Például, ha 100 dollárral kezdjük, és három év alatt folyamatosan 8% -ot adunk, akkor a végső vagyont a következő adja meg:

$\begin{matrix} w = $ 100 e^{(0.08) (3)} = $ 127.12 \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} & w = \ $ 100e ^ {(0.08) (3)} = \ $ 127.12 \\ \ vége {igazítva}$ w = $ 100e (0, 08) (3) = $ 127, 12

A jelenértékre (PV) való diszkontálás pusztán fordított összekapcsolódással történik , így a jövőbeni érték (F) jelenlegi értékét, folyamatosan összekapcsolva ( r _c) sebességgel, az adja meg:

$\begin{matrix} Az F PV (n) évben kapott = \frac{F}{e^{r_{c} n}} = F e^{- r_{c} n} \end{matrix} \ kezdődik {összehangolt} és \ szöveg {az F PV-je kapott (n) évben} = \ frac {F} {e ^ {r_c n}} = Fe ^ {-r_c n} \ \ vége {igazítva}$ F értéke (n) évben kapott PV = erc nF = Fe − rc n

Például, ha három év alatt 100 dollárt kap 6% -os folyamatos kamatláb alatt, akkor annak jelenlegi értékét a következő adja meg:

$\begin{matrix} PV = F e^{- r_{c} n} = ($ 100) e^{- (0.06) (3)} = $ 100 e^{- 0.18} ≅ $ 83.53 \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} és \ szöveg {PV} = Fe ^ {-r_c n} = ( $ 100) e ^ {- (0, 06) (3)} = \ $ 100 e ^ {-0, 18} cong \ $ 83, 53 \\ \ end {igazított}$ PV = Fe-rc n = ($ 100) E- (0, 06) (3) = $ 100e-0.18≅ $ 83, 53

Méretezés több időszak alatt

A folyamatosan összetett visszatérítések kényelmes tulajdonsága, hogy több periódusra skálázódnak. Ha az első időszak hozama 4%, a második időszak hozama 3%, akkor a két időszak hozama 7%. Fontolja meg, hogy az évet 100 dollárral kezdjük, amely az első év végén 120 dollárra, majd a második év végén 150 dollárra növekszik. A folyamatosan összetett hozamok 18, 23% és 22, 31%.

$\begin{matrix} \ln (\frac{120}{100}) ≅ 18.23 % \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} és \ ln \ balra ( frac {120} {100} jobbra) cong 18, 23 \% \\ \ vége {igazítva}$ ln (100120) ≅18.23%

$\begin{matrix} \ln (\frac{150}{120}) ≅ 22.31 % \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} és \ ln \ balra ( frac {150} {120} jobbra) cong 22.31 \% \\ \ vége {igazítva}$ ln (120.150) ≅22.31%

Ha ezeket egyszerűen összeadjuk, akkor 40, 55% -ot kapunk. Ez a két időszak visszatérése:

$\begin{matrix} \ln (\frac{150}{100}) ≅ 40.55 % \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} és \ ln \ balra ( frac {150} {100} jobbra) cong 40, 55 \% \\ \ vége {igazítva}$ ln (100.150) ≅40.55%

Technikai szempontból a folyamatos visszatérés időszerű. Az időkonzisztencia a kockázatos érték (VAR) technikai követelménye. Ez azt jelenti, hogy ha az egyszakaszos visszatérés egy normálisan eloszlott véletlen változó, akkor azt szeretnénk, ha a többszörös periódusú véletlen változók is normálisan eloszlottak lennének. Ezenkívül a több periódusú, folyamatosan összetett hozam általában eloszlik (ellentétben például egy egyszerű százalékos hozammal).

Alsó vonal

Az éves kamatlábakat féléves, negyedéves, havi vagy napi kamatlábakra (vagy megtérülési rátákra) alakíthatjuk. A leggyakoribb keverés a folyamatos keverés, amelyhez természetes napló és exponenciális függvény használatát kell bevonni, amelyet általában a pénzügyben használnak kívánatos tulajdonságai miatt - több skálán skálázható, és időben konzisztens.

Tartalomjegyzék:

Féléves megtérülési ráták

Negyedéves, havi és napi megtérülési ráták

Hogyan működik a folyamatos keverés?

Méretezés több időszak alatt

Alsó vonal

Választható editor