Legyen okosabb a monte carlo szimulációval

A pénzügyekben a számok vagy az összegek jövőbeni értékének becslésekor valós mértékű bizonytalanság és kockázat merül fel a lehetséges kimenetelek sokfélesége miatt. A Monte Carlo szimuláció (MCS) egy olyan módszer, amely segít csökkenteni a jövőbeli eredmények becsléséhez kapcsolódó bizonytalanságot. Az MCS alkalmazható komplex, nemlineáris modellekre, vagy más modellek pontosságának és teljesítményének értékelésére használható. Ez a kockázatkezelés, a portfóliókezelés, az árképzési származtatott ügyek, a stratégiai tervezés, a projekttervezés, a költségmodellezés és más területeken is megvalósítható.

Meghatározás

Az MCS egy olyan módszer, amely a modell bemeneti változóinak bizonytalanságait valószínűségi eloszlásokká alakítja. Az eloszlások kombinálásával és az eredményekből véletlenszerűen kiválasztott értékekből sokszor újraszámolja a szimulált modellt, és felhozza a kimenet valószínűségét.

Alapvető jellemzők

Az MCS lehetővé teszi több bemenet használatát egyidejűleg egy vagy több kimenet valószínűség-eloszlásának létrehozásához. A modell bemeneteihez különféle típusú valószínűség-eloszlások rendelhetők. Ha az eloszlás ismeretlen, akkor a legmegfelelőbbet választhatjuk. A véletlen számok használata jellemzi az MCS-t sztochasztikus módszerként. A véletlen számoknak függetleneknek kell lenniük; nem létezik korreláció közöttük. Az MCS a kimenetet egy rögzített érték helyett tartományként generálja, és megmutatja, hogy a kimeneti érték valószínűleg megjelenjen-e a tartományban.

Néhány gyakran használt valószínűségi eloszlás az MCS-ben

Normál / Gauss-eloszlás - Folyamatos eloszlás olyan helyzetekben, ahol az átlagot és a szórást megadják, és az átlag képviseli a változó legvalószínűbb értékét. Az átlag körül szimmetrikus, és nincs határain.

Lognormal eloszlás - folyamatos eloszlás, közép- és szórás szerint. Ez megfelelő a nullától a végtelenig terjedő változóig, pozitív ferdén és normál eloszlású természetes logaritmus mellett.

Háromszög eloszlás - folyamatos eloszlás rögzített minimális és maximális értékekkel. A minimum és a maximális érték határolja, és lehet szimmetrikus (a legvalószínűbb érték = átlag = medián) vagy aszimmetrikus.

Egységes eloszlás - folyamatos eloszlás, amelyet ismert minimum és maximális érték határol. A háromszög eloszlással ellentétben az értékek minimális és maximum közötti előfordulásának valószínűsége azonos.

Exponenciális eloszlás - A folyamatos eloszlás a független események közötti idő illusztrálására szolgál, feltéve, hogy az események aránya ismert.

A matematika az MCS mögött

Tegyük fel, hogy van egy valós értékű g (X) függvény, amelynek valószínűségi frekvenciafüggvénye P (x) (ha X diszkrét), vagy valószínűségi sűrűségfüggvény (f) (x) (ha X folytonos). Ezután definiálhatjuk g (X) várható értékét diszkrét és folyamatos értelemben:

$\begin{matrix} E (g (x)) = Σ_{- \infty}^{+ \infty} g (x) P (x), \\ hol P (x) > 0 és Σ_{- \infty}^{+ \infty} P (x) = 1 \\ E (g (x)) = \int_{- \infty}^{+ \infty} g (x) f (x) d x, \\ hol f (x) > 0 és \int_{- \infty}^{+ \infty} f (x) d x = 1 \\ Ezután készítsen véletlenszerű rajzokat az úgynevezett n x (x_{1}, \dots, x_{n}) \\ próbafutások vagy szimulációs futások, számítsa ki g (x_{1}), \dots, g (x_{n}) \end{matrix} \ Begin {igazított} & E (g (x)) = \ sum ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} g (x) P (x), \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ szöveg {ahol} P (x)> 0 \ szöveg {és} összeg ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} P (x) = 1 \\ & E (g (X)) = \ int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} g (x) f (x) , dx, \\ & \ qquad \ qquad \ qquad \ qquad \ text {ahol} f (x)> 0 \ text {and} int ^ {+ \ infty} _ {- \ infty} f (x) , dx = 1 \\ & \ text {Ezután készítsen $ n $ véletlenszerű rajzokat a $ X (x_1, \ ldots, x_n) $ -ról, az úgynevezett} \ & \ text {próbafutások vagy szimulációk futtatása, kiszámítja a $ g (x_1), \ ldots, g (x_n) $} \ & \ text {és keresse meg a minta $ g (x) $ átlagát:} end {igazított}$ E (g (X)) = - ∞∑ + ∞ g (x) P (x), ahol P (x)> 0 és − ∞∑ + ∞ P (x) = 1E (g (X)) = ∫ − ∞ + ∞ g (x) f (x) dx, ahol f (x)> 0 és ∫ − ∞ + ∞ f (x) dx = 1Következő, készítsen n véletlenszerű rajzot X-ről (x1, …, xn), úgynevezett próbaüzem vagy szimulációs futás, számítsuk ki g (x1), …, g (xn)

$\begin{matrix} g_{n}^{μ} (x) = \frac{1}{n} Σ_{én = 1}^{n} g (x_{én}), amely képviseli a végső szimulált \\ értéke E (g (x)) . \\ Ebből adódóan g_{n}^{μ} (x) = \frac{1}{n} Σ_{én = 1}^{n} g (x) lesz a Monte Carlo \\ becslője E (g (x)) . \\ Mint n \to \infty, g_{n}^{μ} (x) \to E (g (x)), így most képesek vagyunk \\ kiszámítsuk a diszperziót a becsült átlag körül a \\ a pártatlan variancia g_{n}^{μ} (x) : \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} & g ^ \ mu_n (x) = \ frac {1} {n} összeg ^ n_ {i = 1} g (x_i), \ text {amely a végső szimulált képet képviseli} \ & \ text { értéke} E (g (X)). \\\\ & \ szöveg {Ezért} g ^ \ mu_n (X) = \ frac {1} {n} sum ^ n_ {i = 1} g (X) text {lesz a Monte Carlo} \ & \ text {becslés az E (g (X)) -ról. \\\\ & \ text {As} n \ to \ infty, g ^ \ mu_n (X) E-re (g (X)), \ text {így most}} \ & \ text {kiszámíthatjuk a szórást a becsült középérték körül a} \ & \ text {elfogulatlan varianciájával} g ^ \ mu_n (X) text {:} \ & Var (g ^ \ mu_n (X)) = \ frac {1} {n-1} sum ^ N_ {i = 1} (g (x_i) -g ^ \ mu_n (x)) ^ 2 \ end {igazított}$ Gnμ (x) = n1 i = 1∑n g (xi), amely az E (g (X)) végleges szimulált értékét képviseli, tehát gnμ (X) = n1 i = 1∑n g (X) lesz az E (g (X)) Monte Carloestimatorja. Mivel n → ∞, gnμ (X) → E (g (X)), így most már képesek vagyunk kiszámítani a szórást a becsült középérték körül a a gnμ elfogulatlan szórása (X):

Egyszerű példa

Hogyan befolyásolja az egységár, az eladás és a változó költségek bizonytalansága az EBITD-t?

Szerzői jogi egységek értékesítése) - (változó költségek + rögzített költségek)

Magyarázza el a bemeneti adatok - egységár, egységértékesítés és változó költségek - bizonytalanságát háromszög eloszlás alapján, amelyet a táblázatokban megadott inputok vonatkozó minimális és maximális értéke határoz meg.

szerzői jog

Érzékenységi táblázat

Az érzékenységi diagram nagyon hasznos lehet, ha elemezzük a bemenetek kimenetre gyakorolt hatását. Azt mondja, hogy az egységértékesítés a szimulált EBITD-variancia 62% -át, a változó költségek 28, 6% -ot, az egységár 9, 4% -át teszi ki. Az egységértékesítés és az EBITD, valamint az egységár és az EBITD közötti korreláció pozitív, vagy az egységértékesítés vagy az egységár növekedése az EBITD növekedéséhez vezet. A változó költségek és az EBITD viszont negatív korrelációban vannak, és a változó költségek csökkentésével növeljük az EBITD-t.

szerzői jog

Vigyázzon, ha egy bemeneti érték bizonytalanságát olyan valószínűség-eloszlással határozza meg, amely nem felel meg a valósnak, és az abból történő mintavétel helytelen eredményeket fog adni. Ezenkívül előfordulhat, hogy a bemeneti változók függetlenségének feltételezése nem érvényes. A félrevezető eredmények származhatnak olyan inputokból, amelyek kölcsönösen kizárják egymást, vagy ha szignifikáns összefüggést találnak két vagy több input-eloszlás között.

Alsó vonal

Az MCS technika egyszerű és rugalmas. Nem törli a bizonytalanságot és a kockázatot, de megkönnyíti azok megértését, ha a modell bemeneteire és kimeneteire valószínűségi jellemzőket rendel. Nagyon hasznos lehet az előrejelzett változókat befolyásoló különféle kockázatok és tényezők meghatározásában, ezért pontosabb előrejelzéseket eredményezhet. Azt is vegye figyelembe, hogy a kísérletek száma nem lehet túl kicsi, mivel lehet, hogy nem elegendő a modell szimulálásához, ami az értékek csoportosulásához vezethet.

Tartalomjegyzék: