A binomiális opciós árazási modell megértése

A részvényárak meghatározása

Kihívás az, hogy megegyezzenek minden értékesíthető eszköz pontos árazásában - ezért változnak a részvényárak. A valóságban a cégek napi szinten alig változtatják meg értékelésüket, de részvényáraik és értékeléseik szinte minden másodpercben megváltoznak. Az a nehézség, hogy konszenzust kell elérni a kereskedelmezett eszközök helyes árképzéséről, rövid távú arbitrázs lehetőségeket eredményez.

De sok sikeres befektetés a mai értékbecslés egyszerű kérdésére vezethető vissza - milyen a mai aktuális ár a várható jövőbeni kifizetéshez?

Binominal Options értékelése

A versenyképes piacon az arbitrázs lehetőségek elkerülése érdekében az azonos kifizetési struktúrájú eszközöknek azonos árnak kell lenniük. Az opciók értékelése kihívást jelentő feladat, és az árváltozások arbitrázs lehetőségeket eredményeznek. A Black-Scholes továbbra is az egyik legnépszerűbb modell az árképzési lehetőségekhez, de korlátozásokkal rendelkezik.

A binomiális opciók árazási modellje egy másik népszerű módszer az árképzési opciókhoz.

Példák

Tegyük fel, hogy egy adott részvényen létezik vételi opció, aktuális piaci ára 100 USD. Az at-the-money (ATM) opció lehívási ára 100 USD, az idő lejárati ideje egy év. Két kereskedő, Peter és Paula egyaránt egyetértenek abban, hogy a részvényárfolyam vagy 110 dollárra emelkedik, vagy egy év alatt 90 dollárra esik.

Egyetértenek egy várt árszinten egy adott egyéves időkereten belül, de nem értenek egyet a felfelé vagy lefelé történő mozgás valószínűségével. Peter úgy véli, hogy a részvényárfolyam valószínűsége, hogy a dollár 110 dollárra megy, 60%, Paula szerint 40%.

Ennek alapján ki hajlandó több árat fizetni a vételi opcióért? Lehetséges, hogy Peter, mivel nagy valószínűséggel várja el a felfelé lépést.

Binominal Options számítások

A két eszköz, amelytől az értékelés függ, a vételi opció és az alapul szolgáló részvény. A résztvevők megállapodnak abban, hogy az alapul szolgáló részvényárfolyam a jelenlegi 100 dollárról 110 dollárra vagy 90 dollárra mozoghat egy év alatt, és más ármozgás nem lehetséges.

Egy arbitrázsmentes világban, ha létre kell hoznia egy portfóliót, amely e két eszközből, vételi opcióból és az alapul szolgáló részvényből áll, úgy, hogy függetlenül attól, hogy hova mész a mögöttes ár - 110 dollár vagy 90 dollár -, a portfólió nettó hozama mindig változatlan marad. Tegyük fel, hogy a portfólió létrehozásához megvásárolja a mögöttes és a rövid egyhívási opció „d” részvényeit.

Ha az ár 110 dollárra megy, akkor részvényeinek 110 dollár * d lesz, és 10 dollárt veszítesz a rövid hívás után. A portfólió nettó értéke (110d - 10) lesz.

Ha az ár 90 dollárra csökken, akkor részvényeinek értéke 90 dollár * d lesz, és az opció értéktelenül lejár. A portfólió nettó értéke (90d) lesz.

$\begin{matrix} h (d) - m = l (d) \\ hol: \\ h = Legmagasabb mögöttes ár \\ d = A mögöttes részvények száma \\ m = A rövid hívás után elveszett pénz \\ l = Legalacsonyabb lehetséges mögöttes ár \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} & h (d) - m = l (d) \ & \ textbf {ahol:} \ & h = \ szöveg {Legmagasabb lehetséges mögöttes ár} \ & d = \ szöveg {Az alapul szolgáló részvények száma} \ & m = \ text {Pénzveszteség a rövid hívás után} \ & l = \ text {Legalacsonyabb potenciális alapul szolgáló ár} \ \ vége {igazítva}$ H (d) −m = l (d) ahol: h = a legmagasabb mögöttes árfolyam = a mögöttes részvények száma m = a rövid hívás után elveszett pénz = a legalacsonyabb potenciális mögöttes ár

Tehát ha fél részvényt vásárol, feltételezve, hogy részleges vásárlás lehetséges, akkor sikerül létrehoznia egy portfóliót, hogy annak értéke mindkét lehetséges államban változatlan maradjon az adott egy éves időkereten belül.

$\begin{matrix} 110 d - 10 = 90 d \\ d = \frac{1}{2} \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} és 110d - 10 = 90d \\ & d = \ frac {1} {2} \ \ vége {igazítva}$ 110d-10 = 90dd = 21

Ez a portfólió értéke, amelyet (90d) vagy (110d - 10) = 45 jelöl, egy évvel a sor alatt. Jelenlegi értékének kiszámításához a kockázatmentes hozammal (5% -ot feltételezve) le lehet diszkontálni.

$\begin{matrix} Jelenlegi érték & = 90 d \times e^{(- 5 % \times 1 Év)} \\ = 45 \times 0.9523 \\ = 42.85 \end{matrix} \ kezdés {összehangolt} szöveg {jelenérték} & = 90d \ alkalommal e ^ {(-5 \% \ alkalommal 1 \ szöveg {év})} \ & = 45 \ alkalommal 0, 9523 \\ & = 42, 85 \\ \ end {igazított}$ Jelenlegi érték = 90d × e (−5% × 1 év) = 45 × 0, 9523 = 42, 85

Mivel a portfólió jelenleg az alapul szolgáló részvények ½ részesedéséből (100 dollár piaci árral) és egy rövid hívásból áll, ennek meg kell egyeznie a jelenértékkel.

$\begin{matrix} \frac{1}{2} \times 100 - 1 \times Hívás ára = $ 42.85 \\ Hívás ára = $ 7.14, azaz a mai hívási ár \end{matrix} \ kezdődik {összehangolt} és \ frac {1} {2} alkalommal 100 - 1 \ alkalommal \ szöveges {Hívási ár} = = 42, 85 $ \\ & \ szöveges {Hívási ár} = = 7, 14 USD \ szöveges {, azaz a hívási ár a mai nap} \ \ vége {igazítva}$ 21 × 100−1 × Hívási ár = 42, 85 USDHívási ár = 7, 14 USD, azaz a mai hívási ár

Mivel ez azon a feltevésen alapul, hogy a portfólió értéke változatlan marad, függetlenül attól, hogy a mögöttes ár milyen irányba halad, a felfelé vagy lefelé történő mozgás valószínűsége nem játszik szerepet. A portfólió továbbra is kockázatmentes, függetlenül a mögöttes ármozgástól.

Mindkét esetben (feltételezve, hogy felfelé mozog 110 dollárra és lefelé mozog 90 dollárra), portfóliója semleges a kockázattal, és kockázatmentes hozamot kap.

Ezért mind a kereskedők, Peter és Paula hajlandóak ugyanazt a 7, 14 dollárt fizetni erre a vételi opcióra, annak ellenére, hogy a felfelé lépések valószínűségét eltérően érzékelik (60% és 40%). Az egyénileg érzékelt valószínűségük nem számít az opció értékelésében.

Feltételezve, hogy az egyes valószínûségek számítanak, az arbitrázs lehetõségeket mutatta be. A való világban az ilyen arbitrázs lehetőségek csekély árkülönbségekkel léteznek, és rövid távon eltűnnek.

De hol van ezeknek a számításoknak a sokszorosult volatilitása, egy fontos és érzékeny tényező, amely befolyásolja az opciók árazását?

A volatilitást a probléma meghatározása már tartalmazza. Feltételezve, hogy az árszint két (és csak kettő - tehát a „binomiális” elnevezés) állapota (110 és 90 dollár), a volatilitás implicit ebben a feltevésben, és automatikusan szerepel (ebben a példában mindkét irányban 10%).

Black-Scholes

De ez a megközelítés helyes és összhangban van-e a gyakran használt Black-Scholes árképzéssel? Az Opciók kalkulátor eredményei (az OIC jóvoltából) szorosan megegyeznek a kiszámított értékkel:

Sajnos a való világ nem olyan egyszerű, mint a „csak két állam”. Az állomány több árszintet is elérhet a lejárat előtt.

Lehetséges ezeket a több szintet beépíteni egy binomiális árképzési modellbe, amely csak két szintre korlátozódik? Igen, ez nagyon lehetséges, de ennek megértése néhány egyszerű matematikát igényel.

Egyszerű matematika

A probléma és a megoldás általánosítása:

"X" egy részvény jelenlegi piaci ára, "X * u" és "X * d" pedig a "t" évvel későbbi felfelé és lefelé történő mozgatásának jövőbeli árai. Az "u" tényező nagyobb lesz, mint egy, mivel felfelé haladást jelez, és "d" nulla és egy között lesz. A fenti példában u = 1, 1 és d = 0, 9.

A vételi opció kifizetése "P _up " és "P _dn " a lefelé és felfelé történő mozgatáshoz a lejáratkor.

$\begin{matrix} VUM = s \times x \times u - P_{fel} \\ hol: \\ VUM = A portfólió értéke emelkedés esetén \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} & \ szöveg {VUM} = s \ idő X \ alkalommal u - P_ \ szöveg {fel} \ & \ textbf {ahol:} \ & \ szöveg {VUM} = \ szöveg {a portfólió értéke felfelé lépés esetén \ \ \ vég {igazítva}$ VUM = s × X × u − kölyök, ahol: VUM = a portfólió értéke felfelé lépés esetén

$\begin{matrix} VDM = s \times x \times d - P_{le-} \\ hol: \\ VDM = A portfólió értéke csökkenő mozgás esetén \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} & \ szöveg {VDM} = s \ idő X \ idő d - P_ \ szöveg {le} \ & \ textbf {ahol:} \ & \ text {VDM} = \ text {a portfólió értéke lefelé haladás esetén} \ \ vég {igazítva}$ VDM = s × X × d – Pdown, ahol: VDM = A portfólió értéke lefelé mozgatás esetén

Hasonló értékeléshez az ármozgatás mindkét esetben:

$s \times x \times u - P_{fel} = s \times x \times d - P_{le-} s \ idő X \ idő u - P_ \ text {fel} = s \ idő X \ idő d - P_ \ szöveg {le}$ s × X × u-Pup = S × X × d-Pdown

$\begin{matrix} s & = \frac{P_{fel} - P_{le-}}{x \times (u - d)} \\ = A megvásárolni kívánt részvények száma \\ kockázatmentes portfólió \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} s & = \ frac {P_ \ text {up} - P_ \ text {down}} {X \ times (u - d)} \ & = \ text {A megvásárolható részvények száma} \ & \ fantom {=} text {egy kockázatmentes portfólió} \ \ vége {igazítva}$ s = X × (u − d) Pup −Pdown = A megvásárolni kívánt részvények száma = kockázatmentes portfólió

A portfólió jövőbeni értéke a "t" év végén:

$\begin{matrix} Felfelé lépés esetén & = s \times x \times u - P_{fel} \\ = \frac{P_{fel} - P_{le-}}{u - d} \times u - P_{fel} \end{matrix} \ kezdődik {összehangolt} szöveg {Felfelé mozgatás esetén} & = s \ alkalommal X \ alkalommal u - P_ \ szöveg {fel} \ & = \ frac {P_ \ text {fel} - P_ \ text {lefelé} } {u - d} alkalommal u - P_ \ text {fel} \ \ vég {igazítva}$ Felfelé mozgatás = s × X × u − kölyök = u − dPup − lefelé × u − kölyök

$\begin{matrix} Lefelé mozgatás esetén & = s \times x \times d - P_{le-} \\ = \frac{P_{fel} - P_{le-}}{u - d} \times d - P_{le-} \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} szöveg {Lefelé mozgatás esetén} & = s \ alkalommal X \ alkalommal d - P_ \ text {lefelé} \ & = \ frac {P_ \ text {fel} - P_ \ text {lefelé} } {u - d} alkalommal d - P_ \ text {lefelé} \ \ vége {igazítva}$ Lefelé mozgatás esetén = s × X × d – Pdown = u − dPup –P Down × d – Pdown

A mai érték úgy érhető el, hogy diszkontáljuk a kockázatmentes hozammal:

$\begin{matrix} PV = e (- r t) \times \\ hol: \\ PV = A mai nap értéke \\ r = Megtérülési ráta \\ t = Idő, évben \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} & \ szöveg {PV} = e (-rt) idő \ balra \\ & \ textbf {hol:} \ & \ szöveg {PV} = \ szöveg {a mai nap értéke} \ & r = \ text {Megtérülési ráta} \ & t = \ text {Idő, években} \ \ vége {igazítva}$ PV = e (−rt) × ahol: PV = a mai nap értékértéke = a visszatérő aránya = idő, években

Ennek meg kell egyeznie az "s" részvények portfólió birtoklásával X áron, és a "c" rövid hívásértékkel (az (s * X - c) mai részesedésének meg kell egyeznie ezzel a számítással.) A "c" megoldása végül megadja mint:

Megjegyzés: Ha a hívásdíj rövidül, akkor a portfólió kiegészítésének, nem pedig kivonásának kell lennie.

$c = \frac{e (- r t)}{u - d} \times c = \ frac {e (-rt)} {u - d} idő$ c = u-de (-R) ×

Az egyenlet írásának másik módja az, hogy átrendezi azt:

A "q" -et mint:

$q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u-de (-R) -d

Akkor az egyenlet lesz:

$c = e (- r t) \times (q \times P_{fel} + (1 - q) \times P_{le-}) c = e (-rt) idő (q \ idő P_ \ szöveg {fel} + (1 - q) idő P_ \ szöveg {le})$ c = e (-R) × (q × Pup + (1-q) × Pdown)

Az egyenlet „q” szerinti átrendezése új perspektívát kínál.

Most úgy értelmezheti a „q” -ot, mint a mögöttes emelkedés valószínűségét (mivel a „q” a P _up-hoz és az „1-q” a P _dn-hez kapcsolódik). Összességében az egyenlet képviseli a mai opciós árat, a kifizetés diszkontált értékét a lejáratkor.

Ez a "Q" más

Hogyan különbözik ez a „q” valószínűség a mögöttes felfelé vagy lefelé történő mozgatás valószínűségétől?

$\begin{matrix} VSP = q \times x \times u + (1 - q) \times x \times d \\ hol: \\ VSP = A tőzsdei ár idő szerinti értéke t \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} & \ szöveg {VSP} = q \ idő X \ idő u + (1 - q) idő X \ idő d \\ & \ textbf {ahol:} \ & \ szöveg {VSP} = \ text {A részvényár értékének időbeni értéke} t \\ \ vége {igazítva}$ VSP = q × X × u + (1 − q) × X × dhol: VSP = A részvényárfolyam értéke t időpontban

A "q" érték helyettesítésével és az átrendezéssel a "t" időpontbeli részvényárfolyam a következő:

$\begin{matrix} Részvényárfolyam = e (r t) \times x \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} és \ szöveg {részvényárfolyam} = e (rt) időszor X \\ \ vége {igazítva}$ Részvényár = e (rt) × X

Ebben a két állam feltételezett világában a részvényárfolyam egyszerűen a kockázatmentes hozammal növekszik, pontosan úgy, mint egy kockázatmentes eszköz, és ezért független a kockázatoktól. A befektetők közömbösek a kockázat e modell alapján, tehát ez alkotja a kockázat-semleges modellt.

A „q” és „(1-q)” valószínűség kockázat-semleges valószínűségek, az értékelési módszer pedig kockázat-semleges értékelési modell.

A példahelyzetnek egy fontos követelménye van - a jövőbeni kifizetési struktúrára pontosan szükség van (110 és 90 dolláros szint). A valós életben nem lehetséges az egyértelműség a lépésenkénti árszint felett; inkább az ár véletlenszerűen mozog, és több szinten is letelepedhet.

A példa további kibővítéséhez tegyük fel, hogy lehetséges kétlépcsős árszintek. Ismertük a második lépés végső kifizetéseit, és ma ki kell értékelnünk az opciót (az első lépésben):

Visszafelé haladva, a közbenső első lépés értékelése (t = 1) elvégezhető a második lépés végső kifizetéseivel (t = 2), majd ezen kiszámított első lépési érték (t = 1) felhasználásával a mai értékbecslés (t = 0) ezekkel a számításokkal érhető el.

A második számú opciós árképzéshez négy és öt kifizetést kell használni. A harmadik számú árképzéshez öt és hatodik kifizetést használunk. Végül a kettőnél és a harmadiknél kiszámított nyereségeket használjuk az első számú árképzéshez.

Felhívjuk figyelmét, hogy ez a példa ugyanazt a tényezőt feltételezi a felfelé (és lefelé) történő mozgatáskor mindkét lépésben - az u és a d összetett módon alkalmazandó.

Működő példa

Tegyük fel, hogy a 110 dolláros szelvényértékű vételi opció jelenleg 100 dollár értékű, és egy év alatt jár le. Az éves kockázatmentes arány 5%. Az ár várhatóan 20% -kal növekszik, és hat havonta 15% -kal csökken.

Itt u = 1, 2 és d = 0, 85, x = 100, t = 0, 5

a fenti képlet alapján:

$q = \frac{e (- r t) - d}{u - d} q = \ frac {e (-rt) - d} {u - d}$ q = u-de (-R) -d

q = 0, 35802832 értéket kapunk

eladási opció értéke a 2. pontban, $\begin{matrix} p_{2} = e (- r t) \times (p \times P_{fel fel} + (1 - q) P_{updn}) \\ hol: \\ p = A vételi opció ára \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} és p_2 = e (-rt) idő (p \ idő P_ \ text {upup} + (1 - q) P_ \ text {updn}) \ & \ textbf {ahol:} \ & p = \ text {eladási opció ára} \ \ vége {igazítva}$ P2 = e (−rt) × (p × Pupup + (1 − q) Pupdn) ahol: p = az eladási opció ára

P _upup feltételnél az mögöttes érték = 100 * 1, 2 * 1, 2 = 144 USD, ami P _upup = nullához vezet

P _updn feltételnél az mögöttes érték = 100 * 1, 2 * 0, 85 = 102 USD, ami P _updn = 8 USD-hoz vezet

P _dndn körülmények között az alapul szolgáló érték = 100 * 0, 85 * 0, 85 = 72, 25 USD, ami P _dndn = _{37, 75} USD _értékhez vezet

p ₂ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 0 + (1-0, 35802832) * 8) = 5, 008970741

Hasonlóképpen, p ₃ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 8 + (1-0, 35802832) * 37, 75) = 26, 42958924

$p_{1} = e (- r t) \times (q \times p_{2} + (1 - q) p_{3}) p_1 = e (-rt) idő (q \ p_2 + (1 - q) p_3)$ p1 = e (-R) × (q × P2 + (1-q) p3)

Ezért az eladási opció értéke p ₁ = 0, 975309912 * (0, 35802832 * 5, 008970741 + (1-0, 35802832) * 26, 42958924) = 18, 29 USD.

Hasonlóképpen, a binomiális modellek lehetővé teszik a teljes opció időtartamának megbontását több lépés és szint további finomításához. Számítógépes programok vagy táblázatok felhasználásával egy lépéssel hátrafelé léphet, hogy megkapja a kívánt opció jelenlegi értékét.

Egy másik példa

Tegyük fel, hogy egy európai típusú eladási opció kilenc hónapos lejáratra szól, 12 dollár sztrájk ára és a jelenlegi alapár 10 dollár. Tegyük fel, hogy minden időszakban 5% -kal jár kockázatmentes arány. Tegyük fel, hogy háromhavonta az alapul szolgáló ár 20% -kal mozoghat felfelé vagy lefelé, u = 1, 2, d = 0, 8, t = 0, 25 és egy háromlépcsős binomiális fát eredményez.

A piros a mögöttes árakat, míg a kék a vételi opciók kifizetését jelzi.

Kockázat-semleges valószínűség "q" 0, 531446-ra számít.

A fenti "q" érték és a t = kilenc hónapos kifizetési értékek felhasználásával a megfelelő értékeket t = hat hónapnál a következőképpen kell kiszámítani:

Ezen túlmenően, ezen t = 6 értéknél számított értékek felhasználásával t = 3, akkor t = 0 értékek:

Ez egy eladási opció mai értékét 2, 18 dollárban adja, ami nagyjából megközelíti azt, amit a Black-Scholes modell segítségével számolhat (2, 30 dollár).

Alsó vonal

Noha a számítógépes programok használata megkönnyítheti ezeket az intenzív számításokat, a jövőbeli árak előrejelzése továbbra is a binomiális modellek fő korlátozása az opciók árazásában. Minél finomabb az időköz, annál nehezebb megjósolni a kifizetéseket az egyes időszakok végén nagy pontossággal.

Ugyanakkor az a rugalmasság, hogy beépítsük a különböző időszakokban várható változásokat, plusz, ami alkalmassá teszi az amerikai opciók árképzését, ideértve a korai végrehajtási értékeléseket is.

A binomiális modell alkalmazásával kiszámított értékek szorosan megegyeznek más, általánosan használt modellekkel, például a Black-Scholes-kel kiszámított értékekkel, ami jelzi a binomiális modellek hasznosságát és pontosságát az opciók árazásához. A binomiális árazási modelleket a kereskedő preferenciái szerint lehet kifejleszteni, és alternatíváiként működhetnek a Black-Scholes számára.

Tartalomjegyzék: