Hogyan kell használni a monte carlo szimulációt a gbm-vel

A kockázat becslésének egyik leggyakoribb módja a Monte Carlo-szimuláció (MCS) használata. Például egy portfólió kockázati értékének (VaR) kiszámításához futtathatunk egy Monte Carlo-szimulációt, amely megpróbálja megjósolni a portfólió valószínűleg a legrosszabb valószínű veszteségét, adott konfidencia intervallumban megadott időhorizonton keresztül (mindig két a VaR feltételei: bizalom és horizont)., átnézzük a tőzsdei árfolyamra alkalmazott alapvető MCS-t, amely a pénzügy egyik leggyakoribb modellje: a geometriai Brown-mozgás (GBM). Ezért, bár a Monte Carlo-szimuláció a szimuláció különböző megközelítéseinek univerzumára utalhat, itt a legalapvetőbbre kezdjük.

Hol kezdjem

A Monte Carlo-szimuláció egy kísérlet arra, hogy sokszor megjósolja a jövőt. A szimuláció végén több ezer vagy millió "véletlenszerű kísérlet" eredményeket oszt meg, amelyeket elemezni lehet. Az alapvető lépések a következők:

1. Adjon meg egy modellt (pl. GBM)

Ez a cikk a Geometriai Brown-mozgást (GBM) fogja használni, amely technikailag Markov-folyamat. Ez azt jelenti, hogy a tőzsdei árfolyam véletlenszerűen jár, és összhangban van (legalábbis) a hatékony piaci hipotézis gyenge formájával (EMH) - a legolcsóbb árinformáció már be van építve, és a következő ármozgás "feltételesen független" a múltból ármozgások.

A GBM képlete az alábbiakban található:

$\begin{matrix} \frac{Δ S}{S} = μ Δ t + σ ε \sqrt{Δ t} \\ hol: \\ S = a tőzsdei ár \\ Δ S = a részvényárfolyam változása \\ μ = a várható hozam \\ σ = a hozamok szórása \\ ε = a véletlen változó \end{matrix} \ kezdődik {igazítva} & \ frac { Delta S} {S} = \ \ mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t} \ & \ textbf {ahol:} \ & S = \ text {részvényárfolyam} \ & \ Delta S = \ text {a részvényárfolyam változása} \ & \ mu = \ text {a várható hozam} \ & \ sigma = \ text {a szórás visszatér} \ & \ epsilon = \ text {a véletlen változó} \ & \ Delta t = \ text {az eltelt időtartam} end {igazítva}$ SΔS = μΔt + σϵΔt ahol: S = a részvény árAS = a részvény árváltozásaμ = a várható hozam σ = a hozamok szórásaϵ = a véletlen változó

Ha átrendezzük a képletet a részvényárfolyam változásának megoldására, akkor látjuk, hogy a GBM szerint a részvényárfolyam változása az „S” részvényár, szorozva az alábbi zárójelben található két kifejezéssel:

$Δ S = S \times (μ Δ t + σ ε \sqrt{Δ t}) \ Delta S \ = \ S \ \ times ( mu \ Delta t \ + \ \ sigma \ epsilon \ sqrt { Delta t})$ ΔS = S × (μΔt + σϵΔt)

Az első kifejezés "sodródás", a második kifejezés "sokk". Mindegyik időszakra a modellünk feltételezi, hogy az ár "elcsúszik" a várható hozammal. De a sodródást véletlenszerű sokk fogja sokkolni (hozzáadni vagy kivonni). A véletlenszerű sokk az "s" szórás, szorozva egy "e" véletlen számmal. Ez egyszerűen csak a szórás skálázásának egyik módja.

Ez a GBM lényege, amint azt az 1. ábra szemlélteti. A részvények ára lépések sorozatát követi, ahol minden lépés drift plusz vagy mínusz véletlenszerű sokk (ez maga a részvény szórásának függvénye):

2. Véletlenszerű kísérleteket generál

Felfegyverkezve egy modell specifikációval, akkor folytatjuk a véletlenszerű próbákat. A szemléltetés céljából a Microsoft Excel programot 40 kísérlet futtatásához használtuk. Ne feledje, hogy ez egy irreálisan kicsi minta; a legtöbb szimuláció vagy "sim" legalább több ezer kísérletet hajt végre.

Tegyük fel, hogy az állomány a nulla napon kezdődik 10 dollár áron. Itt egy eredménydiagram, ahol minden egyes idő lépés (vagy intervallum) egy nap, és a sorozat tíz napig tart (összefoglalóan: negyven próba napi lépésekkel, tíz nap alatt):

Az eredmény negyven szimulált részvényárfolyam 10 nap végén. Egyik sem esett 9 dollár alá, egy pedig 11 dollár fölé.

3. Feldolgozza a kimenetet

A szimuláció a hipotetikus jövőbeli eredmények eloszlását eredményezte. A kimenettel több dolgot is megcsinálhattunk.

Ha például a VaR-t 95% -os megbízhatósággal akarjuk becsülni, akkor csak a harmincnyolcadik rangot kell meghatároznunk (a harmadik legrosszabb eredményt). Ennek oka az, hogy 2/40 egyenlő 5% -kal, tehát a két legrosszabb eredmény a legalacsonyabb 5% -nál van.

Ha az ábrázolt eredményeket tálcákba rakjuk (mindegyik tálca egy dollár 1/3-a, tehát három tálca fedezi a 9 és 10 dollár közötti intervallumot), akkor a következő hisztogramot kapjuk:

Ne felejtse el, hogy a GBM-modellünk normálissá válik; az ár-hozamokat általában a várható hozam (átlag) "m" és a szórás "s" -el osztják szét. Érdekes, hogy a hisztogram nem néz ki normálisan. Valójában, több próba esetén nem hajlamos a normalitásra. Ehelyett inkább egy lognormal eloszlás felé hajlik: éles esés az átlagtól balra és egy erősen ferde "hosszú farok" az átlagtól jobbra.

Ez gyakran potenciálisan zavaró dinamikát eredményez az első hallgatók számára:

Az ár- hozamok általában szét vannak osztva. Az árszintek napló-alapon vannak elosztva.

Gondoljon így: A részvények visszatérhetnek 5 vagy 10% -kal, de egy bizonyos idő elteltével a részvényár nem lehet negatív. Ezen túlmenően az áremelkedések a felfelé kompozit hatást gyakorolnak, míg a lefelé mutató áremelkedések csökkentik az alapot: 10% -ot veszítenek, és a következő alkalommal kevesebbet vesztenek.

Itt található az ábrázolt feltételezéseinkre felvitt lognormal eloszlás diagramja (pl. 10 USD indulási ár):

Alsó vonal

A Monte Carlo-szimuláció egy kiválasztott modellt (amely meghatározza az eszköz viselkedését) alkalmazza egy nagyszámú véletlenszerű kísérletre annak érdekében, hogy a lehetséges jövőbeli eredmények valószínű halmazát nyújtsa. A részvényárak szimulációját illetően a leggyakoribb modell a geometriai Brown-mozgás (GBM). A GBM feltételezi, hogy az állandó sodródást véletlenszerű sokkok kísérik. Míg a GBM alatti hozamokat általában elosztják, az ebből következő többéves (például tíz napos) árszintek szokatlanul oszlanak meg.

Tartalomjegyzék: