Mi a Bayes-tétel?
A 18. századi brit matematikus, Thomas Bayes elnevezésű Bayes-tétel egy matematikai képlet a feltételes valószínűség meghatározására. A tétel lehetővé teszi a meglévő előrejelzések vagy elméletek (frissítési valószínűségek) felülvizsgálatát új vagy kiegészítő bizonyítékok alapján. Pénzügyekben a Bayes-tétel felhasználható a potenciális hitelfelvevőkhöz való kölcsönnyújtás kockázatának felmérésére.
A Bayes-tételt Bayes-törvénynek vagy Bayes-törvénynek is nevezik, és ez a Bayes-statisztika területének alapja.
Kulcs elvihető
- A Bayes-tétel lehetővé teszi az esemény előrejelzett valószínűségének frissítését új információk beépítésével. A Bayes-tétel a 18. századi matematikus, Thomas Bayes elnevezést kapta.Ez gyakran a pénzügyekben alkalmazzák a kockázatértékelés frissítésében.
A Bayes-tétel formulája
P (A∣B) = P (B) P (A⋂B) = P (B) P (A) ⋅P (B∣A) ahol: P (A) = A bekövetkezésének valószínûsége P (B) = B előfordulásának valószínűségeP (A∣B) = A adott BP valószínűsége (B∣A) = B valószínűsége, hogy megadott AP (A⋂B)) = A és B előfordulásának valószínűsége
Bayes-tétel magyarázata
A tétel alkalmazása széles körben elterjedt, és nem korlátozódik a pénzügyi területre. Példaként a Bayes-tétel felhasználható az orvosi teszteredmények pontosságának meghatározására, figyelembe véve az adott személy betegség valószínűségét és a teszt általános pontosságát. Bayes-tétel a korábbi valószínűség-eloszlások beépítésén alapszik annak érdekében, hogy a hátsó valószínűségeket generálják. Az előző valószínűség, bayes-i statisztikai következtetésben, egy esemény valószínűsége, mielőtt új adatokat gyűjtnének. Ez a kimenetel valószínűségének legjobb racionális értékelése a jelenlegi ismeretek alapján a kísérlet elvégzése előtt. A hátsó valószínűség az esemény módosított valószínűsége az új információk figyelembevétele után. A hátsó valószínűség kiszámításához a korábbi valószínűséget Bayes-tétel felhasználásával frissítjük. Statisztikai szempontból a hátsó valószínűség az A esemény bekövetkezésének valószínűsége, tekintettel arra, hogy a B esemény bekövetkezett.
Bayes-tétel tehát megadja az esemény valószínűségét egy új információ alapján, amely ahhoz az eseményhez kapcsolódik, vagy ahhoz kapcsolódhat. A képlet felhasználható annak megállapítására is, hogy egy hipotetikus új információ hogyan befolyásolja egy esemény bekövetkezésének valószínűségét, ha feltételezzük, hogy az új információ igaz. Tegyük fel például, hogy egyetlen kártya húzódik a teljes 52 kártyából. Annak valószínűsége, hogy a kártya király, 4-nek osztódik 52-del, ami 1/13 vagy kb. 7, 69%. Ne feledje, hogy 4 király van a pakliban. Tegyük fel, hogy kiderül, hogy a kiválasztott kártya arckártya. Annak valószínűsége, hogy a kiválasztott kártya király, mivel ez egy arckártya, 4-el osztva 12-et, vagy körülbelül 33, 3% -ot, mivel a pakliban 12 arckártya van.
Bayes tétel-képlet származtatása egy példával
Bayes-tétel egyszerűen a feltételes valószínűség axiómáiból következik. Feltételes valószínűség az esemény valószínűsége, ha egy másik esemény történt. Például egy egyszerű valószínűségi kérdés felteheti a kérdést: "Mennyire valószínű, hogy az Amazon.com, Inc. (NYSE: AMZN) részvényárak csökkennek?" A feltételes valószínűséggel egy lépéssel tovább veszi ezt a kérdést, amikor felteszi a kérdést: "Mennyire valószínű, hogy az AMZN részvényárak esnek, mivel a Dow Jones ipari átlag (DJIA) index korábban esett?"
Az A feltételes valószínűsége, ha B megtörtént, kifejezhető:
Ha A: "AMZN ár esik", akkor P (AMZN) az AMZN esésének valószínűsége; és B: "DJIA már le van állítva", és P (DJIA) annak a valószínűsége, hogy a DJIA leesett; akkor a feltételes valószínűségi kifejezés így olvasható: "annak valószínűsége, hogy az AMZN esik egy DJIA csökkenés esetén, megegyezik azzal a valószínűséggel, hogy az AMZN ár csökken, és a DJIA csökken a DJIA index csökkenésének valószínűsége felett.
P (AMZN | DJIA) = P (AMZN és DJIA) / P (DJIA)
P (AMZN és DJIA) az A és B előfordulásának valószínűsége. Ez ugyanaz, mint az A előfordulásának valószínűsége, szorozva a B előfordulásának valószínűségével, figyelembe véve, hogy A előfordulások, P (AMZN) x P-ként kifejezve (DJIA | AMZN). Az a tény, hogy ez a két kifejezés egyenlő, vezet Bayes tételéhez, amelyet így írnak:
ha, P (AMZN és DJIA) = P (AMZN) x P (DJIA | AMZN) = P (DJIA) x P (AMZN | DJIA)
majd P (AMZN | DJIA) = / P (DJIA).
Ahol P (AMZN) és P (DJIA) az Amazon és a Dow Jones esésének valószínűsége, függetlenül egymástól.
A képlet megmagyarázza a hipotézis valószínűsége és a P (AMZN) közötti bizonyítékok megszerzése előtti hipotézis valószínűsége és a P (AMZN | DJIA) bizonyítékok megszerzése utáni hipotézis összefüggését az Amazon által a Dow-ban adott bizonyítékokkal kapcsolatban.
Bayes-tétel numerikus példája
Numerikus példaként képzelje el, hogy van egy kábítószer-teszt, amely 98% -kal pontos, azaz az idő 98% -a valódi pozitív eredményt mutat a kábítószert használó személyek számára, és 98% -ának valódi negatív eredményt mutat a drog. Ezután tegyük fel, hogy az emberek 0, 5% -a használja a drogot. Ha egy véletlenszerűen kiválasztott személy pozitív tesztet tesz a kábítószerre vonatkozóan, akkor a következő számítás segítségével lehet megtudni, hogy valószínűsíthető-ea személy valójában a droghasználó.
(0, 98 x 0, 005) / = 0, 0049 / (0, 0049 + 0, 0199) = 19, 76%
Bayes-tétel azt mutatja, hogy még ha egy személy is pozitívnak bizonyult ebben a forgatókönyvben, valójában sokkal valószínűbb, hogy a személy nem használja a drogot.
