Az értékelési lehetőségek trükkösek lehetnek. Fontolja meg a következő forgatókönyvet: 2015 januárjában az IBM részvényeinek ára 155 USD volt, és arra számítottál, hogy az a következő egy évben magasabb lesz. A vételi opciót az IBM részvényein kívánja megvásárolni, amikor az ATM sztrájk ára 155 dollár, és elvárja, hogy magas hozammal járjon, amely alacsony opciós költségen (opciós prémium) alapul, szemben a magas vételárú részvényvásárlással.
Mekkora legyen ennek az opciónak az valós értéke az IBM-en?
Manapság néhány különféle kész módszer áll rendelkezésre az opciók értékeléséhez - ideértve a Black-Scholes modellt és a binomiális fa modellt), amelyek gyors válaszokat adhatnak. De milyen tényezők és ösztönző koncepciók vannak az ilyen értékelési modellek eléréséhez? Készíthető-e valami hasonló ezen modellek koncepciója alapján?
Itt bemutatjuk az építőelemeket, az alapvető fogalmakat és azokat a tényezőket, amelyek felhasználhatók egy eszköz, például opciók értékelési modelljének felépítéséhez, összehasonlítva a Black-Scholes (BS) eredetével.) modell.
A fekete-Scholes előtti világ
A Black-Scholes előtt az egyensúlyi alapú tőke-eszköz árazási modellt (CAPM) széles körben követték. A hozamokat és a kockázatokat kiegyensúlyozták egymással, a befektető preferenciája alapján, azaz egy magas kockázatot vállaló befektetőt várhatóan kompenzálni kellene (arányos) magasabb hozamokkal.
A BS modell gyökerei a CAPM-ben találhatók. Fisher Black szerint: „A warrant életének minden pillanatában, minden lehetséges részvényárfolyamra és opciós értékre alkalmaztam a tőkeérték-modellet.” Sajnos a CAPM nem tudta teljesíteni a warrant (opcionális) árazás követelményét.
A Black-Scholes marad az első modell, amely az arbitrázs fogalmán alapul, és paradigmaváltást vált ki a kockázatalapú modellektől (mint például a CAPM). Ez az új BS modellfejlesztés felváltotta a CAPM részvény-hozam koncepcióját annak felismerésével, hogy egy tökéletesen fedezett pozíció kockázatmentes kamatot keres. Ez kihúzta a kockázat és a hozam változásait, és létrehozta az arbitrázs fogalmát, amelyben az értékeléseket a kockázat-semleges koncepció feltételezésein végzik - a fedezett (kockázatmentes) pozíciónak kockázatmentes hozamhoz kell vezetnie.
Fekete-Scholes fejlődése
Kezdjük a probléma megállapításával, számszerűsítésével és a megoldás keretének kidolgozásával. Folytatjuk a példánkat az ATM felhívás opciójának az IBM-re történő becslésekor, amelynek törlesztési ára 155 dollár, egy évvel a lejáratig.
A vételi opció alapvető meghatározása alapján, hacsak a részvényár nem éri el a sztrájk árszintet, akkor a kifizetés nulla marad. Ha ezt a szintet meghaladja, a kifizetés lineárisan növekszik (azaz az alapul szolgáló dollár növekedése egy dollár kifizetést eredményez a vételi opciótól).
Feltéve, hogy a vevő és az eladó megállapodnak a valós értékelésben (beleértve a nulla árat), ennek a vételi opciónak az elméleti valós ára a következő lesz:
- Értékesítési opció ára = $ 0, ha mögöttes <sztrájk (piros grafikon) Opciós ár = = (mögöttes - sztrájk), ha mögöttes> = sztrájk (kék grafikon)
Ez képviseli az opció belső értékét, és a vételi opció vevője szempontjából tökéletesen néz ki. A piros régióban mind a vevő, mind az eladó tisztességes értékeléssel rendelkezik (nulla ár eladónak, nulla kifizetés a vevőnek). Az értékelési kihívás azonban a kék térséggel kezdődik, mivel a vevő pozitív nyereséggel rendelkezik, míg az eladó veszteséget szenved (feltéve, hogy a mögöttes ár meghaladja a sztrájk árat). Ebben az esetben a vevőnek nulla árat jelent meg az eladóval szembeni előnye. Az árnak nullának nem kell lennie, hogy kompenzálja az eladót az általa vállalt kockázattal.
Az előbbi esetben (piros grafikon) elméletileg nulla árat kap az eladó, és nulla kifizetési potenciál van a vevő számára (méltányos mindkét fél számára). Az utóbbi esetben (kék grafikon) az alap és a sztrájk közötti különbséget az eladónak kell megfizetnie a vevőnek. Az eladó kockázata egy évig tart. Például az alapul szolgáló részvényár nagyon magasan mozoghat (mondjuk 200 dollárra négy hónap alatt), és az eladónak fizetnie kell a vevőnek a 45 dollár különbséget.
Így a következőképpen alakul:
- A mögöttes összeg áthúzza a sztrájk árat? Ha igen, mekkora lehet a mögöttes ár mértéke (mivel ez határozza meg a vevőnek történő kifizetést)?
Ez jelzi az eladó által vállalt nagy kockázatot, ami felveti a kérdést - miért adna el valaki ilyen hívást, ha nem vállal semmit a vállalt kockázatért?
Célunk, hogy egységes árat érjünk el, amelyet az eladó fel kell számolnia a vevőtől, amely kompenzálja őt az egy év alatt átadott általános kockázattal - mind a nulla fizetési régióban (piros), mind a lineáris fizetési régióban (kék).. Az árnak tisztességesnek és elfogadhatónak kell lennie mind a vevő, mind az eladó számára. Ha nem, akkor az a személy, aki hátrányos helyzetben van a tisztességtelen ár kifizetése vagy megszerzése szempontjából, nem vesz részt a piacon, ezáltal elveszti a kereskedelem célját. A Black-Scholes modell célja a valós ár megállapítása a részvények állandó árváltozásának, a pénz időértékének, az opció lehívási árának és az opció lejárati idejének figyelembevételével. A BS modellhez hasonlóan nézzük meg, hogyan lehet megközelíteni ezt a példánk értékeléséhez saját módszereinkkel.
Hogyan értékeljük a belső értéket a kék régióban?
Néhány módszer áll rendelkezésre a jövőben várható ármozgás előrejelzésére egy adott időkereten belül:
- Elemezhetjük a közelmúltban hasonló, azonos időtartamú ármozgásokat. Az IBM múltbeli záró ára azt jelzi, hogy az elmúlt egy évben (2014. január 2., 2014. december 31.) az ár 160, 44 dollárra esett 185, 53 dollárról, amely 13, 5% -os csökkenést jelent. Megállapíthatjuk-e az IBM -13, 5% -os áremelkedést? Egy további részletes ellenőrzés azt jelzi, hogy az éves szinten 199, 21 dollárt (2014. április 10-én) és 150, 5 dollárt (2014. december 16-án) ért el. Ezek alapján a kezdő napon, 2014. január 2-án, és a záró áron 185, 53 dollárt számolva, a százalékos változás + 7, 37% és -18, 88% között változik. Most a variációs tartomány sokkal szélesebbnek tűnik a korábban számított 13, 5% -os csökkenéshez képest.
Hasonló elemzéseket és megfigyeléseket lehet végezni a történeti adatokkal kapcsolatban. Az árazási modell továbbfejlesztésének folytatása érdekében tegyük fel ezt az egyszerű módszert a jövőbeli árváltozások felmérésére.
Tegyük fel, hogy az IBM évente 10% -kal növekszik (az elmúlt 20 év történelmi adatai alapján). Az alap statisztikák azt mutatják, hogy az IBM részvényárfolyam-változásának valószínűsége + 10% körüli ingadozásnál sokkal nagyobb lesz, mint annak valószínűsége, hogy az IBM ár 20% -kal emelkedik vagy 30% -kal csökken, feltételezve, hogy a történeti minták megismétlődnek. Hasonló valószínűségi értékekkel rendelkező történelmi adatpontok gyűjtésével az IBM részvényárfolyamának egy év alatt várható teljes hozama kiszámítható a valószínűségek és a hozzájuk kapcsolódó hozamok súlyozott átlagaként. Tegyük fel például, hogy az IBM korábbi áradatai a következő lépéseket jelzik:
- (-10%) az idő 25% -ában, + 10% a 35% -ában, + 15% az idő 20% -ában, + 20% az idők 10% -ában, + 25% az idők 5% -ában és (-15%) az idők 5% -ában.
Ezért a súlyozott átlag (vagy a várt érték) a következőkre vonatkozik:
(-10% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 15% * 5%) / 100% = 6, 5%
Vagyis az IBM részvényeinek ára átlagosan + 6, 5% -ot fog elérni egy év múlva minden dollárért. Ha valaki vásárol az IBM részvényt egyéves horizonton és 155 dollár vételáron, akkor nettó hozamra számíthatunk 155 * 6, 5% = 10, 075 dollár értékben.
Ez azonban a részvényhozamra vonatkozik. Hasonló várható hozamot kell keresnünk a hívási opcióhoz.
A lehívási ár alatti hívás nulla kifizetése alapján (meglévő 155 dollár - ATM hívás) minden negatív lépés nulla kifizetést eredményez, míg a lebonyolítási ár feletti pozitív mozdulatok egyenértékű kifizetést eredményeznek. A vételi opció várható hozama tehát a következő:
(-0% * 25% + 10% * 35% + 15% * 20% + 20% * 10% + 25% * 5% - 0 % * 5%) / 100% = 9, 75%
Vagyis az opció megvásárlásáért fektetett 100 dollár után 9, 75 dollárra számíthat (a fenti feltételezések alapján).
Ez azonban továbbra is az opció tényleges összegének valós értékelésére korlátozódik, és nem helyesen fedezi fel az opció eladója által viselt kockázatot az átmenetileg bekövetkező nagy ingadozások esetén (a fent említett éven belüli magas és alacsony eset esetén árak). A belső érték mellett milyen áron lehet megállapodni a vevő és az eladó, hogy az eladót méltányosan kompenzálják annak a kockázatnak, amelyet az egyéves időtartamon át vállal?
Ezek a hinták nagyban változhatnak, és az eladónak megvan a saját értelmezése arról, hogy mennyit akar kompenzálni érte. A Black-Scholes modell feltételezi az európai típusú opciókat, azaz a lejárati idő előtt nem gyakorolnak gyakorlatokat. Így a közbenső áringadozás nem érinti azt, és értékelését a végpontok közötti kereskedési napokra alapozza.
A valós napi kereskedelemben ez a volatilitás fontos szerepet játszik az opciós árak meghatározásában. A kék kifizetési funkció, amelyet általában látunk, valójában a kifizetés a lejáratkor. Reálisan az opciós ár (rózsaszín grafikon) mindig magasabb, mint a kifizetés (kék grafikon), jelezve azt az árat, amelyet az eladó vesz fel a kockázatvállalási képesség kompenzálására. Ez az oka annak, hogy az opciós árat „prémiumnak” nevezik, amely valószínűleg a kockázati prémiumot jelzi.
Ez beépíthető értékelési modellünkbe, attól függően, hogy mekkora volatilitást várnak el a részvényárfolyamok, és mekkora várható értéket eredményezne.
A Black-Scholes modell hatékonyan (természetesen a saját feltevésein belül) teszi ezt hatékonyan, az alábbiak szerint:
C = S × N (d1) -X × e-RTN (d2)
A BS modell feltételezi a részvényárfolyamok szokásos eloszlását, ami igazolja az N (d1) és N (d2) használatát.
- Az első részben az S jelzi a részvény aktuális árát. N (d1) a készlet jelenlegi ármozgásának valószínűségét jelzi.
Ha ez az opció pénzbe kerül, lehetővé téve a vevő számára, hogy ezt az opciót gyakorolja, akkor egy részét kap az alapul szolgáló IBM részvényekből. Ha a kereskedő ma gyakorolja, akkor az S * N (d1) képviseli az opció mai várt értékét.
A második részben X jelzi a sztrájk árat.
- N (d2) azt a valószínűséget képviseli, hogy a részvényár meghaladja a sztrájk árat. Szóval X * N (d2) a részvényár várakozási értéke, amely megmarad a sztrájkképzési ár felett .
Mivel a Black-Scholes modell feltételezi az európai stílusú lehetőségeket, ahol a testmozgás csak a végén lehetséges, az X * N (d2) fentebb várt értéket a pénz időértéke alapján kell diszkontálni. Ezért az utolsó rész megszorozódik az exponenciális időtartammal, amelyet az adott időszakban a kamatlábra emelnek.
A két feltétel nettó különbsége jelzi az opció mai napra érvényes árfolyamát (ahol a második futamidet diszkontáljuk).
Kereteinkben az ilyen áremelkedéseket több módon is pontosabban be lehet vonni:
- A várható hozam kalkulációk további finomítása a tartomány apróbb intervallumokba történő kiterjesztésével, hogy a napközbeni / éven belüli ármozgásokat is magába foglalja. A mai piaci adatok beillesztése, mivel azok tükrözik a napi tevékenységet (hasonlóan az implikált volatilitáshoz) A lejárati napon várható hozamok, amelyek a valósághű értékeléseknél vissza kell téríteni a mai napra, és tovább kell csökkenteni a mai értékhez képest
Így látjuk, hogy nincs korlátozás a kvantitatív elemzéshez kiválasztandó feltételezésekre, módszertanokra és testreszabásra. A forgalmazandó eszközöktől vagy a figyelembe veendő befektetéstől függően kidolgozható egy saját fejlesztésű modell. Fontos megjegyezni, hogy a különféle eszközosztályok ármozgásainak volatilitása nagyon eltérő lehet - a részvények volatilitási ferde, a forex volatilitása rosszindulatú - és a felhasználóknak be kell építeniük az alkalmazandó volatilitási mintákat modelleikbe. A feltételezések és a hátrányok minden modell szerves részét képezik, és a modellek tudatos alkalmazása a valós világbeli forgatókönyvekben jobb eredményeket hozhat.
Alsó vonal
A piacon belüli összetett eszközök, vagy akár az egyszerű vaníliaeszközök kereskedelmének összetett formáinak eljutásakor a mennyiségi modellezés és elemzés kötelezővé válik az értékeléshez. Sajnos egyetlen matematikai modell sem áll hátrányok és feltételezések nélkül. A legjobb megoldás az, ha a feltételezéseket a lehető legkisebbre csökkentjük, és tisztában kell lennünk a feltételezett hátrányokkal, amelyek elősegíthetik a modellek alkalmazhatóságát és alkalmazhatóságát.
